Sistemi con una variabile di stato.

Ad un istante di tempo t=0, di inizio delle osservazioni, vi è una popolazione di N₀ batteri e si vuole stimare come varia il numero N(t) di batteri al trascorrere del tempo t.

Questo sistema ha solo una variabile di uscita: N(t), non ha nessuna variabile di ingresso perchè non si è stabilito che vi sia un mezzo per scambiare una certa quantità di batteri con l'ambiente. Per questa caratteristica il sistema è chiuso, cioè è isolato dall'ambiente.

La crescita è determinata dal tasso di riproduzione dei batteri; lo si indica con n e lo si esprime in numero di nuovi batteri, ogni N già esistenti, nell'unità di tempo.

Crescita della popolazione

Il tasso di riproduzione è un valore costante interno al sistema, non è una variabile, è un parametro del sistema.

I parametri caratterizzano un dato sistema, nel senso che lo stesso modello di riproduzione dei batteri è valido anche per analizzare la riproduzione di altre specie cambiando solo il parametro (tasso di riproduzione).

La variabile di uscita N(t) è anche variabile di stato perchè con il suo valore permette di calcolare quanti batteri saranno presenti dopo un intervallo di tempo Δt. Infatti se all'istante t si hanno N(t) batteri, dopo un tempo Δt si avrà un incremento di batteri:

ΔN = n·N(t)·Δt,

e quindi:

N(t+Δt) = N(t) + ΔN

Un esempio numerico (con valori scelti a caso):

N₀ = 2000 batteri,

n = 40% al mese,

Δt = 1 mese.

Si prevede che dopo un mese, cioè per t = Δt, agli N₀ batteri esistenti, si saranno aggiunti:

ΔN₀ = n·N₀·Δt = 800 batteri,

cioè il 40% di 2000, e la popolazione complessiva sarà:

N₁ = N(Δt) = N(t=0) + ΔN₀ = 2000 + 800 = 2800 batteri.

Dopo un altro mese, cioè al tempo t = 2·Δt, si saranno aggiunti

ΔN₁ = n·N₁·Δt = 1120 batteri,

il 40% dei 2800 batteri esistenti al tempo t =0+Δt, e in totale si avranno:

N₂ = N(2·Δt) = N₁ + ΔN₁ = 2800 + 1120 = 3920 batteri.

Dopo che sono trascorsi k mesi, cioè k intervalli Δt, la popolazione totale sarà data dal numero di batteri esistenti al mese (k-1) sommati ai ΔN_k-1 che si aggiungono nel k-esimo intervallo Δt:

N_k = N(k·Δt) = N_k-1 + ΔN_k-1 batteri.

Si osserva che per calcolare il numero di batteri dopo k intervalli, occorre calcolare tutti i valori N₀, N₁, N₂, ... N_k-1.

Un simile modello è di poca utilità pratica.

Si cerca un modello matematico in cui sia possibile sostituire il valore del tempo t e determinare il numero di batteri N(t) con una sola operazione di calcolo.

A tale scopo si riscriva tutta la successione degli N_k nel seguente modo, supponendo di conoscere N₀:

N₁ = N₀ + n·N₀·Δt = N₀·(1 + n·Δt)

N₂ = N₁ + n·N₁·Δt = N₁·(1 + n·Δt) = N₀·(1 + n·Δt)²

e il generico termine di ordine k avrà la forma:

N_k = N_k-1 + n·N_k-1·Δt = N₀·(1 + n·Δt)^k

In quest'ultima espressione il valore di Δt rappresenta l'intervallo di tempo tra una osservazione e la successiva. Di conseguenza k osservazioni durano un tempo t = k·Δt, per cui l'espressione diventa:

Si consideri l'espressione tra parentesi, ma supponendo che n·t = 1:

Se a k si assegnano valori via via crescenti il risultato dell'espressione tende a raggiungere un valore irrazionale denominato numero di Nepero, che vale 2.71....

Se invece si considera la presenza del termine n·t, l'espressione tra parentesi, per k→∞, tende alla funzione esponenziale:

e^n·t

Scegliere k molto grande equivale a scegliere Δt molto piccolo. Quindi per k>>1, N_k tende alla funzione esponenziale:

N(t) = N₀·e^n·t

La simulazione del sistema

Per stabilire l'andamento di una funzione in cui la variabile indipendente si trova a esponente, bisogna determinare il segno dell'esponente e se la base è maggiore, minore o uguale a 1.

Nella funzione e^n·t la base 'e' è maggiore di 1, e l'esponente è positivo perchè sia n che t sono quantità positive.

Si ha che per t=0 la funzione esponenziale vale 1, e facendo assumere a t valori crescenti anche la funzione e^n·t cresce.

Questo comportamento del modello è coerente con il processo reale, infatti, N(t=0) = N₀·e⁰ = N₀·1, e al passare del tempo la popolazione di batteri cresce.

La costante di tempo

Il modello che descrive la crescita dei batteri è approssimato perchè non tiene in considerazione tutte le possibili cause che favoriscono o riducono la riproduzione. Di volta in volta che si prendono in considerazione altri elementi la complessità del modello aumenta.

Si supponga che la popolazione di batteri abbia un tasso di mortalità m, espresso in numero di batteri sterminati nell'unità di tempo ogni N batteri esistenti.

In ogni intervallo di tempo Δt, si aggiungono n·N·Δt batteri, e si eliminano m·N·Δt batteri, quindi si ha una variazione:

ΔN_k = (n-m)·N_k-1·Δt

batteri, e senza ripetere il procedimento precedente si può affermare che la funzione che descrive il numero di batteri nel tempo è:

N(t) = N₀·e^(n-m)·t

Si possono presentare tre casi:

se n = m, l'esponente si annulla e la popolazione resta costante nel tempo, si verifica il caso della crescita zero;
se n > m, l'esponente è positivo e la popolazione cresce in modo illimitato nel tempo,
se n < m, l'esponente è negativo e al passare del tempo N(t) diminuisce avvicinandosi sempre di più al valore 0.

Per quest'ultimo caso si risolva il seguente problema: dopo quanto tempo si può ritenere che la popolazione di batteri si sia estinta?

Bisogna risolvere l'equazione:

0 = N₀·e^(n-m)·t

Si deve ricavare il valore da dare alla variabile t, a esponente, per avere 0 come risultato dell'espressione.

Ma questo valore non esiste perchè una potenza non si annulla per nessun valore dell'esponente.

Nella pratica si accetta che l'esponenziale si confonde con lo zero quando l'esponente assume il valore -5. Infatti e^-5 è circa uguale a 0,00673...

Il valore del tempo t cercato deve essere tale che

(n-m)·t = -5

o, visto che n<m, deve risultare (m-n)·t = 5. Risulta che quando t > 5/(m-n) l'uscita del sistema assume valori trascurabili rispetto a quelli iniziali.

Il valore 1/(m-n) è detto costante di tempo del sistema ed è indicato simbolicamente con τ.

La sua conoscenza permette di fare le seguenti considerazioni su un sistema, dotato di una sola variabile di stato:

dopo 5 costanti di tempo, l'uscita del sistema non manifesta più variazioni apprezzabili,
quando è trascorsa una costante di tempo τ, l'uscita del sistema ha compiuto il 36% della variazione complessiva che deve subire.
Infatti per n<m, l'esponente è negativo e la funzione esponenziale, che determina il numero di batteri nel tempo, decresce da N₀ a 0, e se nell'espressione si sostituisce t = 1/(m-n), si ha il termine e^-1, che vale 0.36 circa e quindi N(τ) = 0.36·N₀.

Si deve notare che un sistema possiede la costante di tempo se ha una variabile di stato e l'esponente è negativo.

Altri esempi di sistemi di riproduzione (del primo ordine)

Per mostrare come il modello di un sistema è un'astrazione che descrive il comportamento di sistemi diversi, si considerano altri sistemi con una variabile di stato.

Un deposito D₀ in banca cresce al tasso di interesse p% annuo, ma il suo valore diminuisce con un tasso di inflazione q% annuo; il valore calcolato a intervalli Δt è dato da una successione il cui termine generico è:

D_k = D_k-1 + (p-q)·D_k-1·Δt

Quindi per un tale sistema si possono ripetere le osservazioni relative alla crescita dei batteri: se p>q, il valore del deposito cresce illimitatamente, se p<q, il valore del deposito tende ad annullarsi dopo 5 costanti di tempo (=1/(q-p)).

Allo stesso modo si descrive il fenomeno del decadimento radioattivo: un nucleo di un atomo instabile perde una particella alfa, composta da due protoni e due neutroni, trasformandosi in un nucleo stabile.

Data una certa massa di materiale instabile, si osserva che da questa vengono emesse λ particelle alfa nell'unità di tempo, cioè λ elementi si trasformano, da un elemento instabile A in un elemento stabile B, più leggero. Il numero di elementi non ancora decaduti è:

N_k = N_k-1 -λ·N_k-1·Δt

Cioè anche questo sistema è descritto da un modello della forma:

N(t) = N₀·e^-λt

e la costante di tempo è τ = 1/λ.

problema: un fossile possiede N₁ nuclei A non ancora decaduti e N₂ nuclei stabili B, qual è l'età del fossile?

Ci si aspetta che all'epoca in cui il fossile si è formato, era composto solo da nuclei instabili, quindi la variabile di stato all'origine deve valere N₀ = N₁+N₂, mentre al momento del ritrovamento N(t) = N₁.

Per conoscere l'età del fossile bisogna determinare il valore di t che soddisfa l'equazione:

N₁ = (N₁ + N₂)·e^-λt

L'operazione che permette di calcolare un'incognita che si trova a esponente è il logaritmo, indicato simbolicamente con log_e.

Una generica espressione della forma:

log_ab = x

si legge logaritmo in base a di b uguale a x, si interpreta nel seguente modo "x è l'esponente da dare ad a per avere il numero b come risultato".

Il logaritmo è la funzione inversa dell'equazione a^x=b.

Ritornando all'esempio, l'equazione a cui si è giunti si trasforma in:

Il calcolo del logaritmo, in base e, di un numero viene svolto consultando apposite tabelle o ricorrendo a una calcolatrice, in quanto non esiste un procedimento manuale semplice e accurato.

* * * * * * * controllo di un sistema * * * * * * * * *

Regolazione della temperatura.

La temperatura desiderata viene impostata tramite un ingresso T_RIF.

La temperatura T interna alla roulotte viene rilevata tramite un trasduttore e confrontata con quella di riferimento.

Il comparatore ad isteresi ha due soglie T_SUP e T_INF. Il suo funzionamento è il seguente: se la temperatura T sta aumentando ma T < T_SUP l'uscita è ON, se la temperatura sta diminuendo ma T > T_INF l'uscita è OFF.

Ad esempio se T_SUP=22°C, T_INF=18°C, assumendo di iniziare con T=15°C il comparatore ad isteresi accende la stufa e la temperatura interna T aumenta. Quando T raggiunge T_SUP=22°C il comparatore comanda lo spegnimento della stufa e quindi la stanza inizia a raffreddarsi; quando la temperatura scende al di sotto di 18°C il comparatore ad isteresi comanda l'accensione della stufa.

La stufa immette un flusso di calore P nell'ambiente, espresso in KW/h. Una parte della quantità di calore fornita dalla stufa è assorbita dai corpi presenti nella stanza, un'altra parte si disperde attraverso le pareti.

Calore specifico

Un corpo di massa M che assorbe una quantità di calore ΔQ varia la sua temperatura di ΔT °C. Questa proprietà dei corpi è il calore specifico:

Conducibilità termica

Una parete che separa due ambienti, quello interno a temperatura T_i e quello esterno a temperatura T_e, trasmette una quantità di calore ΔQ, dal corpo a temperatura maggiore verso quello a temperatura minore, che è proporzionale alla conducibilità termica del materiale (k), all'estensione della superficie (S), alla differenza di temperatura T_i-T_e, alla durata del contatto Δt e inversamente proporzionale allo spessore x della parete.

Conservazione dell'energia

La quantità di calore immessa dalla stufa si ritrova in parte assorbita dai corpi interni alla roulotte e in parte dispersa attraverso le pareti:

Quantità di calore entrante	=	Quantità di calore assorbita	+	Quantità di calore dispersa
P·Δt	=	c·M·ΔT	+	(k·S/x)·(T_i-T_e)·Δt

Modello del sistema

Le variabili di ingresso sono

T_e, la temperatura esterna,
P, la potenza erogata dalla stufa.

La variabile di stato, che è anche variabile di uscita è T_i, ed è così calcolabile:

Temperatura all'istante successivo	=	Temperatura attuale	+	Incremento
T(t + Δt)	=	T(t)	+	ΔT

Dove la variazione ΔT è ottenuta dalla legge di conservazione dell'energia:

Si assumano i seguenti valori:
x = 1 m
T_e = 10 °C
P = 0.75 KW/h
S = 32 m²
k = 0.5 kW/(h·m·°C)
M = 300 Kg
c = 0.5
T(0) = 15 °C

Scegliendo Δt = 0.25 (corrispondente a 15 minuti) si calcola che l'incremento nell'intervallo da t=0 a t=Δt è:

ΔT = 1/(0.5·300)·(750 - 0.5 · 32 · (15 - 10)) ·0.25 = 1.1 °C

Quindi al tempo t = 0 + Δt la temperatura raggiungerà il valore:

T(15') = T(0) + ΔT = 15 °C + 1.1 °C = 16.1 °C

Dopo altri 15 minuti, si ha la variazione:

ΔT = 1/(0.5·300)·(750 - 0.5 · 32 · (16.1 - 10)) ·0.25 = 1.1 °C

Quindi al tempo t = 15 + Δt la temperatura raggiungerà il valore:

T(30') = T(15) + ΔT = 16.1 °C + 1.1 °C = 17.2 °C

La tabella a lato riepiloga una serie di risultati ottenuti con il procedimento descritto. Si vede che dopo 2 ore la temperatura interna raggiunge i 24 °C.

Temperatura di regime

Se il riscaldatore restasse sempre acceso la temperatura interna della stanza, ad un certo punto, non dovrebbe cambiare più, cioè ΔT=0. Quale temperatura si raggiungerebbe?

ΔT=0 quando 750 - 0,5 x 32 x (T_i - 10) = 0 cioè T_i ≈ 57 °C.

Per calcolare dopo quanto tempo si raggiungerebbe questa temperatura si calcoli la costante di tempo.

Si può dire che il sistema raggiunge il valore finale in 5 costanti di tempo.

Per determinare la costante di tempo, nel modello si deve individuare il coefficiente di Δt costituito dai parametri del sistema e invertirlo:

Con i valori forniti nell'esempio risulta che il valore della costante di tempo è:

τ ≈ 10 ore

Dalla tabella dei valori calcolati si può determinare che la durata di accensione, il tempo necessario per far passare T da 18 a 22°C, è circa 1h.

Per calcolare la durata dello spegnimento si può calcolare una nuova tabella di valori imponendo P=0 e T_i = 22°C.

Simulazione del modello

Preparare la tabella seguente, rispettando le coordinate fornite:

Nella cella A5 scrivere 0.
Nella cella A6 scrivere la formula per calcolare l'avanzamento del tempo di intervalli di 0.25 ore, corrispondenti a ¼ di ora.= A5 + 0,25
Copiare la formula fino alla cella in riga 150.
Nella cella B5 scrivere la formula per calcolare ΔT:

=1/(F$2*E$2)*(B$2-D$2*C$2*(C4-A$2))*0,25
Nella cella C5 scrivere la formula per calcolare il nuovo valore di T:
=B5+C4
Le due formule scritte nelle celle B5:C5 devono essere copiate nelle celle sottostanti, fino alla riga 150.

Osservare i risultati e verificare per quale valore del tempo le variazioni di temperatura diventano minori di 0.001

Determinare la massima temperatura raggiunta

verificare che il valore di regime viene raggiunto dopo 5 costanti di tempo.

Il tempo di salita.

Per definizione il tempo di salita è il tempo che impiega la funzione di uscita per passare dal 10% al 90% dell'escursione complessiva.

Dai risultati ottenuti il valore finale è circa 57 °C

L'escursione della funzione di uscita è di 57-15 = 42 °C.

Il 10% di 42 è 4.2 e il 90% è 37.8.

La funzione di uscita passa dal valore (4.2+15) all'istante 0.75 e passa per il valore (37.8+15) all'istante 21.5. Quindi il tempo di salita risulta: 21.5-0.75=20.75 ore.

Regolazione della temperatura

Per simulare il regolatore occorre costruire una funzione che si comporti come un comparatore:

La stufa deve essere accesa, cioè erogare la potenza di 750W, quando si verifica uno dei due casi seguenti:

la temperatura interna è (<18 °C)
la temperatura interna è compresa tra 18 e 22 °C e sia in fase crescente

in ogni altro caso, la stufa deve essere spenta: potenza erogata= 0W.

Nella cella E5 scrivere 750.

Nella cella E6 inserire la formula
=SE(O(C6<18;E(C6<22;C6>18;C6>C5));750;0)

Nota nella formula precedente la funzione O corrisponde all'operatore OR, mentre la funzione E corrisponde all'operatore AND.

Copiare questa formula fino alla riga 150.

Modificare la formula nella cella B6 sostituendo il riferimento alla cella $B$2 con il riferimento alla cella E5 (riferimento relativo), cioè:
=1/(F$2*E$2)*(E5-D$2*C$2*(C5-A$2))*0,25

Copiare questa formula fino alla riga 150.

Tracciare il grafico della temperatura.