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Analisi di Fourier

Analisi di Fourier di una funzione periodica

Nota: nel seguito con f(t) si indicherà la funzione, mentre con f si indicherà la frequenza.

La serie di Fourier

La serie di Fourier di una funzione periodica f(t) di periodo T, e quindi di pulsazione ω=$\frac{2\pi }{T}$=2πf, è:

f(t) = A₀ + $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}$[A_k·cos(k·ω·t) + B_k·sen(k·ω·t)]

dove:

A₀ = $\frac{1}{2·\pi }$·$\underset{\mathrm{-\pi }}{\overset{\pi }{\int }}f\left(t\right)d\left(\mathrm{\omega t}\right)$

A_k = $\frac{1}{\pi }$·$\underset{\mathrm{-\pi }}{\overset{\pi }{\int }}f\left(t\right)·\cos (k·\omega ·t)d\left(\mathrm{\omega t}\right)$

B_k = $\frac{1}{\pi }$·$\underset{\mathrm{-\pi }}{\overset{\pi }{\int }}f\left(t\right)·\mathrm{sen}(k·\omega ·t)d\left(\mathrm{\omega t}\right)$

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Spettro della funzione

Il termine A₀ ha un'interpretazione immediata: rappresenta il valore medio della funzione f(t) in un periodo T.

Infatti è ottenuto calcolando l'integrale in un periodo [-π, π] (che rappresenta l'area tra la curva e l'asse delle ascisse) diviso per la base (2π). In altri termini dividendo l'area di una figura irregolare per la lunghezza della base si deve avere l'altezza media della figura.

L'interpretazione degli altri due termini non è altrettanto semplice. Si supponga che essi rappresentino i cateti di un triangolo rettangolo,

di conseguenza l'ipotenusa è:

e la sua inclinazione è:

L'insieme dei coefficienti C_k, in funzione della frequenza f, rappresenta lo spettro di ampiezza della funzione e l'insieme dei φ_k, in funzione della frequenza f, rappresenta lo spettro di fase della funzione.

Secondo Fourier la frequenza delle armoniche è predeterminata: ogni componente ha una frequenza multipla della frequenza del segnale, (f₀, 2·f₀, 3·f₀, 4·f₀ ecc...)

Si calcola che il 95% della potenza del segnale è contenuto nelle prime tre armoniche, quindi le successive possono essere trascurate senza commettere una grave approssimazione nella ricostruzione del segnale.

La distanza tra la prima e la terza armonica è 2·f₀ ed è l’occupazione di banda del segnale.

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Contenuto armonico della funzione

Deve risultare che

A_k = C_k·senφ_k

e

B_k = C_k·cosφ_k

Sostituendo queste espressioni di A_k e di B_k nella serie di Fourier, si ottiene:

f(t) = A₀ + $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}[C_k·\mathrm{sen}{\phi }_k·\cos (k·\omega ·t)+C_k·\cos {\phi }_k·\mathrm{sen}(\mathrm{k·\omega }·t\left)\right]$

Applicando le formule di addizione del seno:

sen(α + β) = senα·cosβ + senβ·cosα

la serie di Fourier si riscrive nella seguente forma:

f(t) = A₀ + $\underset{k=1}{\overset{\infty }{\Sigma }}[C_k·\mathrm{sen}(k·\omega ·t+{\phi }_k\left)\right]$

dove A₀ è il valore medio della funzione in un periodo,

ω è la pulsazione, o velocità angolare, dell'armonica fondamentale,

C_k è l'ampiezza dell'armonica di ordine k,

φ_k è la fase dell'armonica di ordine k.

Questa forma della serie di Fourier di una funzione periodica offre la seguente interpretazione:

Una funzione periodica f(t), di frequenza f₀ è equivalente alla somma di una costante, pari al valore medio della funzione in un periodo, e di infinite armoniche aventi frequenza multipla della fondamentale.

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