Segnali

Equazione differenziale del primo ordine

Modello di un sistema con una variabile di Stato

Il modello matematico del circuito è:

dove i rappresenta la corrente media nell'intervallo Δt

Si ricorda che si è interessati a stabilire dopo quanto tempo la variazione del livello di tensione applicata dal trasmettitore si manifesta al ricevitore.

Si tratta di determinare quanto tempo impiega la d.d.p. V_c ai capi del condensatore a raggiungere lo stesso valore della d.d.p. del trasmettitore. In altri termini, il modello matematico deve consentire di esprimere V_c(t).

Esprimendo il rapporto incrementale come differenza tra due valori di V_c calcolati in due istanti diversi, cioè trasformando la precedente nella seguente forma:

poi, separando i valori da calcolare al tempo (t+Δt) da quelli noti al tempo t, si ha un'espressione che permette di calcolare il valore successivo di V_c:

Questa espressione è approssimata. La sua validità è tanto più accurata quanto più Δt è piccolo rispetto al prodotto R·C.

In queste condizioni, cioè Δt « R·C, la corrente i approssima il valore istantaneo, anzichè medio.

Infatti, dall'equazione che descrive la conservazione dell'energia:

si ottiene che la corrente istantanea è:

Che sostituita a secondo membro dell'espressione di Vc(t + Δt) porta alla seguente espressione:

Si noti che l'espressione è dimensionalmente corretta, infatti affinchè il secondo membro abbia le dimensioni di una tensione [Volt] il prodotto R·C deve avere le dimensioni di un tempo [sec]. (lo si verifichi per esercizio).

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definizione di equazione differenziale

L'espressione precedente si può anche mettere nella forma:

al limite per Δt→0 il rapporto incrementale tende alla derivata di V_c:

Questa è un'equazione differenziale perchè l'incognita V_c è una funzione che compare sia nella sua forma semplice che insieme alle sue derivate. Il grado della derivata più elevata determina l'ordine dell'equazione differenziale, in questo caso l'equazione differenziale è del primo ordine.

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significato di equazione differenziale

Per dare un'interpretazione al problema di trovare una soluzione dell'equazione differenziale, si osservi l'equazione da un'altra forma:

Poichè la derivata prima di una funzione in un punto rappresenta la tangente alla funzione in quel punto, si può pensare che il problema descritto da un'equazione differenziale sia quello di determinare il grafico della funzione incognita conoscendo come varia la tangente alla funzione.

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Soluzione dell'equazione differenziale.

Ritornando all'equazione differenziale:

R·C·$\frac{\mathrm{dV_c}}{\mathrm{dt}}$+ V_c = E

Nella quale si è supposto che l'ingresso sia un valore costante E.

Si deve osservare che se al termine noto si somma il valore 0, l'equazione differenziale non cambia, cioè:

R·C·$\frac{\mathrm{dV_c}}{\mathrm{dt}}$+ V_c = 0 + E

e, siccome la derivata è un operatore lineare, l'equazione differenziale precedente è la somma delle due seguenti:

R·C·$\frac{\mathrm{dV_c}}{\mathrm{dt}}$+ V_c = 0

R·C·$\frac{\mathrm{dV_c}}{\mathrm{dt}}$+ V_c = E

L'equazione differenziale con il termine noto posto uguale a zero è detta "omogenea associata". La soluzione V_c(t) deve essere la somma della soluzione di ciascuna equazione differenziale.

La soluzione dell'equazione omogenea associata viene ottenuta applicando il metodo di separazione delle variabili, cioè si portano a primo membro tutti i termini in V_c e a secondo membro tutti i termini in t, si ha:

$\frac{\mathrm{dV_c}}{\mathrm{V_c}}$= -$\frac{\mathrm{dt}}{R·C}$

L'integrale del primo membro è log(V_c), mentre l'integrale del secondo membro è -$\frac{t}{R·C}$

cioè:

log(V_c) = -$\frac{t}{R·C}$ + K

Per ottenere V_c si deve prendere l'esponenziale del primo e del secondo membro:

Vc(t) = K·$e^{-\frac{t}{\mathrm{RC}}}$

in cui la costante di integrazione, che si verrebbe a trovare ad esponente ($e^K$), viene espressa come fattore dell'esponenziale e indicata ancora con K (grazie alla sua arbitrarietà). Questa espressione di V_c(t) rappresenta una soluzione dell'omogenea associata.

Per trovare una soluzione dell'equazione differenziale avente il termine noto posto uguale ad E, si deve trovare una funzione che sostituita nell'equazione differenziale porta ad un'identità.

Si può iniziare a vedere se una funzione simile alla funzione applicata in ingresso soddisfa l'equazione differenziale. Siccome il termine noto è la costante E, si può vedere se ammettendo che anche V_c sia una costante, in particolare di valore E, si ottiene un'identità. Infatti sostituendo E a V_c si ottiene un'identità.

Quindi la soluzione completa è la somma delle due soluzioni:

V_c(t) = E + K·$e^{-t/\mathrm{RC}}$

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La soluzione univoca

Resta da determinare la costante di integrazione K. Questa si determina imponendo la condizione iniziale, cioè ponendo t=0 si deve avere V_c(t) = 0.

La soluzione di questa equazione algebrica è K = -E, che sostituita nella soluzione:

V_c(t) = E·(1 - $e^{-t/\mathrm{RC}}$)

Si vede che per t=0 sul condensatore si ha Vc=0, mentre per t→∞ si ha Vc→E. La funzione partendo da 0 raggiunge il valore E con un andamento esponenziale.

Il risultato indica che l’uscita tende a raggiungere il valore E e ne differisce da esso in ogni istante di una quantità descritta da un esponenziale decrescente, e questa differenza è introdotta automaticamente dal sistema stesso in risposta a qualsiasi segnale si applica in ingresso.

Infatti, il termine esponenziale è stato ottenuto dall'omogenea associata.