Traduzione da: mondo matematico dove è possibile trovare altri interessanti spunti per approfondire argomenti di matematica.

Il gioco dei 15 tasselli consiste di 15 quadratini, numerati da 1 a 15, disposti in una griglia di 4×4 caselle. In questa disposizione la casella riservata al tassello numero 16 resta vuota. A iniziare da una disposizione arbitraria dei tasselli, il solutore deve riposizionare i quadratini scambiando, ad ogni mossa, la casella vuota con uno dei tasselli, fino a quando raggiunge una configurazione ordinata:
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15


Esistono alcune configurazioni dalle quali non si riesce a trovare una soluzione.

Per determinare se una configurazione iniziale porta alla soluzione si può ricorrere al seguente procedimento:
Assumendo di leggere i tasselli da sinistra a destra e dall'alto in basso, scelto un qualsiasi tassello contenente il numero i si contino i tasselli minori di i che lo seguono. Si indichi con n tale numero.
Si dice che questa disposizione è un'inversione di ordine n, denotata con ni.

N = Σ i = 1 15 ni

la sommatoria si può estendere da 2 a 15, anzichè da 1 a 15, perchè non ci sono numeri minori di 1, quindi n1 deve essere 0.
Il risultato N è il numero di inversioni presenti nella permutazione dei 15 tasselli.
Si indichi con e il numero della riga in cui si trova la casella vuota.

Se N + e è pari la disposizione dei tasselli porta ad una soluzione, altrimenti non si può trovare la soluzione.

La prova di questa affermazione non viene fornita, ma si fornisce un esempio: La disposizione sottostante, in cui sono stati scambiati i tasselli 1 e 2, n2 = 1 (2 precede 1) e tutte le altre inversioni ni=0, quindi N=1 e non c'è soluzione.
2 1 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15


altro esempio:
13 10 11 6
5 7 4 8
1 12 14 9
3 15 2  
Per calcolare il valore di N nella disposizione dei tasselli mostrata sopra si devono contare i tasselli che seguono quelli minori:
il tassello 13 è seguito da 12 tasselli che lo dovrebbero precedere, il tassello 10 è seguito da 9 tasselli che lo dovrebbero precedere, il tassello identificato con il numero 11 è seguito da 9 tasselli che lo dovrebbero precedere.
Proseguendo il conteggio, si trovano le altre inversioni, oltre quelle già conteggiate: 5, 4, 4, 3, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 1, e 0, la cui somma è N=59. Poichè questo è un numero dispari la configurazione non porta ad una soluzione.